Daftar Isi
Pengertian Pertidaksamaan Irasional
Pertidaksamaan irasional adalah jenis pertidaksamaan yang melibatkan akar pangkat dua dari variabel atau suku yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau bilangan bulat. Pertidaksamaan ini juga sering disebut sebagai pertidaksamaan akar.
Pertidaksamaan irasional sangat penting dalam matematika karena banyak masalah dunia nyata yang dapat diungkapkan dalam bentuk pertidaksamaan irasional. Misalnya, masalah yang melibatkan pergerakan benda atau perhitungan resiko keuangan sering kali dapat dipecahkan dengan menggunakan pertidaksamaan irasional.
Dalam pertidaksamaan irasional, kita mencari nilai variabel yang memenuhi kondisi tertentu sehingga pertidaksamaan tersebut terpenuhi. Dalam matematika, notasi akar pangkat dua (√) digunakan untuk menunjukkan pertidaksamaan irasional. Pertidaksamaan irasional sering kali digunakan untuk menemukan rentang nilai variabel yang memenuhi suatu persamaan atau ketidaksamaan.
Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Irasional
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan irasional, kita perlu memahami beberapa konsep dasar. Berikut adalah langkah-langkah yang dapat kita ikuti:
1. Identifikasi Batasan Nilai Variabel
Langkah pertama dalam menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah mengidentifikasi batasan nilai variabel yang dapat memenuhi pertidaksamaan. Misalnya, jika terdapat akar pangkat dua dari suatu variabel, batasan nilai variabel tersebut harus memenuhi persyaratan agar akar pangkat dua dapat dihitung.
Sebagai contoh, jika terdapat pertidaksamaan irasional √(x+2) > 3, maka kita perlu menentukan batasan nilai x untuk memastikan akar pangkat dua (√) dapat dihitung dengan benar.
Syarat agar akar pangkat dua (√) dapat dihitung adalah x+2 ≥ 0, atau dengan kata lain x ≥ -2. Oleh karena itu, batasan nilai variabel x pada contoh pertidaksamaan ini adalah x ≥ -2.
2. Kuadratkan Kedua Sisi Pertidaksamaan
Langkah selanjutnya dalam menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan akar pangkat dua. Namun, perlu diingat bahwa ketika mengkuadratkan suatu persamaan, kemungkinan timbulnya solusi tambahan yang tidak memenuhi pertidaksamaan asli. Oleh karena itu, perlu dilakukan pengecekan solusi pada langkah selanjutnya.
Sebagai contoh, jika kita mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan √(x+2) > 3, maka pertidaksamaan tersebut menjadi x+2 > 9.
Perlu diingat bahwa hasil kuadrat dari akar pangkat dua (√) adalah variabel tersebut sendiri. Oleh karena itu, kita memperoleh hasil x+2 > 9.
3. Pengecekan Solusi
Setelah mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan, langkah selanjutnya adalah melakukan pengecekan solusi pada pertidaksamaan asli. Hanya solusi yang memenuhi pertidaksamaan asli yang dapat diterima sebagai solusi akhir.
Sebagai contoh, pada pertidaksamaan √(x+2) > 3, setelah mengkuadratkan kedua sisi, kita memperoleh x+2 > 9. Untuk mengecek solusi, kita perlu mengembalikan nilai x pada pertidaksamaan asli dan memastikan bahwa pertidaksamaan tetap terpenuhi.
Jika kita mengembalikan nilai x = 8 pada pertidaksamaan asli, kita memperoleh (√(8+2))^2 = 10 > 9. Jadi, solusi x = 8 memenuhi pertidaksamaan asli.
Jika kita mengembalikan nilai x = 10 pada pertidaksamaan asli, kita memperoleh (√(10+2))^2 = 12 > 9. Jadi, solusi x = 10 juga memenuhi pertidaksamaan asli.
Namun, jika kita mengembalikan nilai x = 6 pada pertidaksamaan asli, kita memperoleh (√(6+2))^2 = 8 > 9. Jadi, solusi x = 6 tidak memenuhi pertidaksamaan asli.
Jadi, solusi dari pertidaksamaan √(x+2) > 3 adalah x > 7 atau x < -11.
Contoh Soal Pertidaksamaan Irasional
Untuk lebih memahami cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional, berikut ini adalah beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya:
Contoh 1:
Selesaikan pertidaksamaan irasional berikut: √(x+2) > 3
Penyelesaian:
Langkah 1: Identifikasi batasan nilai variabel
Karena terdapat akar pangkat dua dari variabel x+2, maka batasan nilai variabel adalah x+2 ≥ 0, atau x ≥ -2.
Langkah 2: Kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan
Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, ketika mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan, kemungkinan timbulnya solusi tambahan. Oleh karena itu, kita perlu mempertimbangkan kedua kemungkinan hasil kuadrat, yaitu hasil kuadrat dari akar pangkat dua dan hasil kuadrat dari angka di sebelah kanan pertidaksamaan.
Sisi kiri pertidaksamaan: (√(x+2))^2 = x+2
Sisi kanan pertidaksamaan: 3^2 = 9
Sehingga pertidaksamaan menjadi: x+2 > 9 atau x+2 < -9
Langkah 3: Pengecekan solusi
Untuk mengecek solusi, kita perlu mengembalikan nilai x pada pertidaksamaan asli dan memastikan bahwa pertidaksamaan tetap terpenuhi.
Untuk x+2 > 9:
Jika x = 8, maka (√(8+2))^2 = 10 > 9 (terpenuhi)
Jika x = 10, maka (√(10+2))^2 = 12 > 9 (terpenuhi)
Jika x = 6, maka (√(6+2))^2 = 8 > 9 (tidak terpenuhi)
Untuk x+2 < -9:
Jika x = -10, maka (√(-10+2))^2 = (√(-8))^2 = 8 > -9 (terpenuhi)
Jika x = -12, maka (√(-12+2))^2 = (√(-10))^2 = 10 > -9 (terpenuhi)
Jika x = -8, maka (√(-8+2))^2 = (√(-6))^2 = 6 > -9 (tidak terpenuhi)
Jadi, solusi dari pertidaksamaan irasional tersebut adalah x > 7 atau x < -11.
Contoh 2:
Selesaikan pertidaksamaan irasional berikut: 2√(x-3) – 1 ≤ 4
Penyelesaian:
Langkah 1: Identifikasi batasan nilai variabel
Karena terdapat akar pangkat dua dari variabel x-3, maka batasannilai variabel adalah x-3 ≥ 0, atau x ≥ 3.
Langkah 2: Kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan
Sisi kiri pertidaksamaan: (2√(x-3))^2 = 4(x-3) = 4x-12
Sisi kanan pertidaksamaan: 4^2 = 16
Sehingga pertidaksamaan menjadi: 4x-12 ≤ 16
Langkah 3: Pengecekan solusi
Untuk mengecek solusi, kita perlu mengembalikan nilai x pada pertidaksamaan asli dan memastikan bahwa pertidaksamaan tetap terpenuhi.
Jika x = 5, maka 4(5)-12 = 8 ≤ 16 (terpenuhi)
Jika x = 6, maka 4(6)-12 = 12 ≤ 16 (terpenuhi)
Jika x = 2, maka 4(2)-12 = -4 ≤ 16 (terpenuhi)
Jadi, solusi dari pertidaksamaan irasional tersebut adalah x ≤ 7.
Kesimpulan
Pertidaksamaan irasional adalah jenis pertidaksamaan yang melibatkan akar pangkat dua dari variabel atau suku yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau bilangan bulat. Pertidaksamaan irasional digunakan untuk mencari rentang nilai variabel yang memenuhi suatu persamaan atau ketidaksamaan.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan irasional, langkah-langkah yang perlu diikuti adalah mengidentifikasi batasan nilai variabel, mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan, dan melakukan pengecekan solusi pada pertidaksamaan asli.
Dalam penyelesaian pertidaksamaan irasional, perlu diingat bahwa hasil kuadrat dari akar pangkat dua (√) adalah variabel itu sendiri. Oleh karena itu, kemungkinan timbulnya solusi tambahan yang tidak memenuhi pertidaksamaan asli perlu diperhatikan dan dilakukan pengecekan solusi.
Dengan memahami konsep dasar dan mengikuti langkah-langkah yang tepat, kita dapat menyelesaikan pertidaksamaan irasional dengan mudah dan akurat. Penerapan pertidaksamaan irasional sangat penting dalam pemecahan masalah matematika maupun dalam konteks dunia nyata seperti pergerakan benda atau perhitungan resiko keuangan.
