Pertidaksamaan rasional adalah salah satu topik yang sering muncul dalam matematika. Pertidaksamaan tersebut melibatkan bilangan rasional, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan dengan pembilang dan penyebut berupa bilangan bulat. Dalam artikel ini, kami akan memberikan beberapa contoh soal pertidaksamaan rasional beserta penyelesaiannya.
Daftar Isi
Contoh Soal 1
Penyelesaian Pertidaksamaan Rasional dengan Interval Notasi
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
(x – 3) / (x + 2) < 0
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita dapat menggunakan pendekatan dengan interval notasi. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari titik-titik kritis, yaitu nilai-nilai x yang membuat penyebut atau pembilang pertidaksamaan bernilai nol. Dalam kasus ini, penyebut pertidaksamaan adalah x + 2, sehingga didapatkan x = -2. Jadi, titik kritisnya adalah x = -2.
Selanjutnya, kita harus memperhatikan tanda dari ekspresi (x – 3) / (x + 2) di setiap interval antara titik-titik kritis. Untuk mempermudah, kita dapat membuat tabel seperti berikut:
| Interval | Tanda Ekspresi |
|---|---|
| x < -2 | + |
| -2 < x < 3 | – |
| x > 3 | + |
Berdasarkan tabel tersebut, dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah x < -2 atau x > 3.
Penyelesaian Pertidaksamaan Rasional dengan Grafik
Alternatif lain untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional adalah dengan menggunakan grafik. Dalam hal ini, kita dapat menggambar grafik fungsi (x – 3) / (x + 2) dan mencari daerah di mana grafik berada di bawah sumbu x, yaitu ketika penyebut bernilai positif dan pembilang bernilai negatif.
Langkah pertama adalah mencari titik-titik kritis, yaitu nilai-nilai x yang membuat penyebut atau pembilang pertidaksamaan bernilai nol. Dalam kasus ini, penyebut pertidaksamaan adalah x + 2, sehingga didapatkan x = -2. Jadi, titik kritisnya adalah x = -2.
Selanjutnya, kita dapat menggambar grafik fungsi (x – 3) / (x + 2) dengan memperhatikan titik kritisnya. Grafik ini akan memiliki asimtot vertikal di x = -2. Dari grafik tersebut, kita dapat melihat bahwa daerah di mana grafik berada di bawah sumbu x adalah x < -2 dan x > 3.
Contoh Soal 2
Penyelesaian Pertidaksamaan Rasional dengan Interval Notasi
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
(2x – 1) / (x – 3) ≥ 0
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita dapat menggunakan pendekatan dengan interval notasi. Langkah pertama adalah mencari titik kritis. Dalam kasus ini, penyebut pertidaksamaan adalah x – 3. Jadi, titik kritisnya adalah x = 3.
Kemudian, kita perlu membuat tabel untuk memperhatikan tanda dari ekspresi (2x – 1) / (x – 3) di setiap interval antara titik kritis:
| Interval | Tanda Ekspresi |
|---|---|
| x < 3 | + |
| x > 3 | – |
Berdasarkan tabel tersebut, dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah x < 3 atau x > 3.
Penyelesaian Pertidaksamaan Rasional dengan Grafik
Alternatif lain untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional adalah dengan menggunakan grafik. Dalam hal ini, kita dapat menggambar grafik fungsi (2x – 1) / (x – 3) dan mencari daerah di mana grafik berada di atas atau sama dengan sumbu x, yaitu ketika penyebut bernilai positif dan pembilang bernilai non-negatif.
Langkah pertama adalah mencari titik-titik kritis, yaitu nilai-nilai x yang membuat penyebut atau pembilang pertidaksamaan bernilai nol. Dalam kasus ini, penyebut pertidaksamaan adalah x – 3, sehingga didapatkan x = 3. Jadi, titik kritisnya adalah x = 3.
Selanjutnya, kita dapat menggambar grafik fungsi (2x – 1) / (x – 3) dengan memperhatikan titik kritisnya. Grafik ini akan memiliki asimtot vertikal di x = 3. Dari grafik tersebut, kita dapat melihat bahwa daerah di mana grafik berada di atas atau sama dengan sumbu x adalah x < 3 dan x > 3.
Contoh Soal 3
Penyelesaian Pertidaksamaan Rasional dengan Interval Notasi
Temukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
(x + 4) / (x – 5) > 0
Pertama-tama, cari titik kritis dari pertidaksamaan ini. Dalam kasus ini, titik kritisnya adalah saat penyebut pertidaksamaan, yaitu x – 5, sama dengan nol. Jadi, didapatkan x = 5.
Selanjutnya, perhatikan tanda dari ekspresi (x + 4) / (x – 5) di setiap interval antara titik kritis:
| Interval | Tanda Ekspresi |
|---|---|
| x < -4 | + |
| -4 < x < 5 | – |
| x > 5 | + |
Berdasarkan tabel tersebut, himpunan penyelesaiannya adalah x < -4 atau x > 5.
Penyelesaian Pertidaksamaan Rasional dengan Grafik
Alternatif lain untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional adalah dengan menggunakan grafik. Dalam hal ini, kita dapat menggambar grafik fungsi (x + 4) / (x – 5) dan mencari daerah di mana grafik berada di atas sumbu x, yaitu ketika penyebut bernilai positif dan pembilang bernilai negatif.
Langkah pertama adalah mencari titik-titik kritis, yaitu nilai-nilai x yang membuat penyeb
Langkah pertama adalah mencari titik-titik kritis, yaitu nilai-nilai x yang membuat penyebut atau pembilang pertidaksamaan bernilai nol. Dalam kasus ini, penyebut pertidaksamaan adalah x – 5, sehingga didapatkan x = 5. Jadi, titik kritisnya adalah x = 5.
Selanjutnya, kita dapat menggambar grafik fungsi (x + 4) / (x – 5) dengan memperhatikan titik kritisnya. Grafik ini akan memiliki asimtot vertikal di x = 5. Dari grafik tersebut, kita dapat melihat bahwa daerah di mana grafik berada di atas sumbu x adalah x < -4 dan x > 5.
Pertidaksamaan rasional adalah salah satu topik yang membutuhkan pemahaman mendalam mengenai bilangan rasional dan cara menyelesaikannya. Dalam contoh soal di atas, kita telah melihat beberapa kasus pertidaksamaan rasional dan bagaimana cara menyelesaikannya menggunakan pendekatan interval notasi dan grafik.
Pendekatan interval notasi memungkinkan kita untuk mencari tahu himpunan penyelesaian pertidaksamaan dengan membuat tabel tanda ekspresi di setiap interval antara titik-titik kritis. Sedangkan dengan menggunakan grafik, kita dapat memvisualisasikan fungsi pertidaksamaan dan mencari daerah di mana grafik berada di bawah atau di atas sumbu x.
Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari artikel ini adalah pertidaksamaan rasional melibatkan bilangan rasional dalam bentuk pecahan. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional, langkah-langkah yang harus dilakukan antara lain mencari titik-titik kritis, memperhatikan tanda dari ekspresi pertidaksamaan di setiap interval antara titik kritis, dan menentukan himpunan penyelesaiannya.
Dalam contoh soal di atas, kita telah melihat beberapa kasus pertidaksamaan rasional dan bagaimana cara menyelesaikannya menggunakan pendekatan interval notasi dan grafik. Dengan memahami langkah-langkah tersebut, diharapkan pembaca dapat lebih mudah menghadapi pertidaksamaan rasional dalam matematika.
