Daftar Isi
Pendahuluan
Dalam matematika, induksi adalah metode yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan yang berlaku untuk setiap bilangan bulat positif. Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang pembuktian menggunakan metode induksi matematika untuk memperlihatkan bahwa 5n – 3n habis dibagi.
Metode Induksi Matematika
Metode induksi matematika melibatkan tiga langkah utama, yaitu:
Langkah 1: Buktikan pernyataan tersebut benar untuk n=1.
Langkah 2: Anggap pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat k.
Langkah 3: Buktikan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk k+1.
Pembuktian untuk 5n – 3n Habis Dibagi
Kita akan membuktikan bahwa 5n – 3n habis dibagi menggunakan metode induksi matematika.
Langkah 1: Buktikan untuk n=1
Ketika n=1, kita memiliki 5(1) – 3(1) = 5 – 3 = 2. Karena 2 habis dibagi oleh 2, maka pernyataan tersebut benar untuk n=1.
Langkah 2: Anggap Benar untuk n=k
Kita anggap bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat k. Dengan kata lain, 5k – 3k habis dibagi.
Langkah 3: Buktikan untuk n=k+1
Kita akan membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1. Dalam hal ini, kita harus membuktikan bahwa 5(k+1) – 3(k+1) habis dibagi.
Perlu diingat bahwa 5(k+1) – 3(k+1) dapat diubah menjadi 5k + 5 – 3k – 3. Kita dapat menyederhanakan ekspresi ini menjadi 2k + 2.
Karena kita telah mengasumsikan bahwa 5k – 3k habis dibagi, maka kita dapat menyederhanakan 2k + 2 menjadi 2(k + 1).
Karena k + 1 adalah bilangan bulat, maka 2(k + 1) habis dibagi. Oleh karena itu, 5(k+1) – 3(k+1) juga habis dibagi.
Kesimpulan
Secara keseluruhan, menggunakan metode induksi matematika, kita telah membuktikan bahwa pernyataan 5n – 3n habis dibagi benar untuk setiap bilangan bulat positif n. Metode induksi matematika merupakan alat yang kuat dalam pembuktian matematika dan dapat digunakan untuk membuktikan berbagai pernyataan.
